Калькулятор комплексных чисел. вычисление выражений с комплексными числами

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:

1. Перевести число в десятичную систему счисления.Решение: = = = Ответ: =

2. Перевести число в десятичную систему счисления.Решение: = = = Ответ: =

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.

Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.

3. Перевести число в восьмиричную систему счисления.Решение: 273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421Проверка: = = = , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.Ответ: =

Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.

Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью. Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.

4. Перевести число в двоичную систему счисления.Решение: (0 — целая часть, которая станет первой цифрой результата), (0 — вторая цифра результата), (1 — третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).Ответ: =

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел — это безусловно, самая простая и понятная операция. Сложение/вычитание действительных частей комплексного числа переводит точку вправо/влево на действительной оси, а сложение/вычитание мнимых частей комплексного числа переводит точку вверх/вниз на мнимой оси.

Арифметически это работает так же, как объединение одинаковых членов в алгебре.

Например, если мы вычтем 1 — 4i из 3 + 2i, мы просто находим разницу действительных 3 — 1 = 2 и мнимых 2i — (-4i ) = 2i + 4i = 6i частей.

Это то же самое, что построить точку 3 + 2i и перенести ее влево на 1 единицу и вверх на 4 единицы. Получившаяся точка — это итоговый результат: 2 + 6i.

Также можно представить точки комплексной плоскости как вектор (Вектор – отрезок соединяющий две точки для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом). В нашем случаем началом будет начало координат (0,0), а концом сама точка. Теперь внесём знак минус под скобки, чтобы у нас было сложение:

(3 + 2i) + (-1 + 4i)

И затем построим два вектора.

Чтобы узнать результат сложения перенесём параллельно начало одного вектора в конец второго. Поскольку сложение является коммутативным, не имеет значения, каким образом мы их складываем. a+b=b+а (свойство коммутативности)

Это может показаться излишним, но вот в чем дело: понимание векторного представления сделает умножение и деление комплексных чисел намного проще.

Системы счисления

Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные. Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.

Пример 1. Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:

Число:	5	9	2	1
Позиция:	3	2	1

Число 5921 можно записать в следующем виде: = = . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Пример 2. Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Число:	1	2	3	4	5	6	7
Позиция:	3	2	1	-1	-2	-3

Число 1234.567 можно записать в следующем виде: = = .

Решение системы линейных уравнений

Наборы линейных уравнений довольно часто встречаются в повседневных расчетах, поэтому методов их решения придумано великое множество. Но перед рассмотрением самого простого алгоритма нахождения неизвестных стоит вспомнить о том, что вообще может иметь система таких уравнений:

— иметь только одно верное решение;

— иметь бесконечное множество корней;

— иметь несовместный тип (когда решений быть не может).

Метод Гаусса, используемый нашим АБАК-ботом — самое мощное и безотказное средство для поиска решения любой системы уравнений линейного типа.

Возвращаясь к терминам высшей математики, метод Гаусса можно сформулировать так: с помощью элементарных преобразований система уравнений должна быть приведена к равносильной системе треугольного типа (или т.н. ступенчатого типа), из которой постепенно, начиная с самого последнего уравнения, находятся оставшиеся переменные. При всем этом элементарные преобразования над системами — ровно то же самое, что и элементарные преобразования матриц в переложении для строк.

Наш бот умеет молниеносно выдавать решения системы линейных уравнений с неограниченным количеством переменных!

Практическое применение решение таких систем находит в электротехнике и геометрии: расчетах токов в сложных контурах и выведение уравнения прямой при пересечении трех плоскостей  а также в множестве специализированных задач.

Данный сервис позволяет решать неограниченную по размерам систему линейных уравнений с комплексными коэффициентами.

Практическое применение:

 

Ну, раз  бот умеет считать решения комплексных систем, то для него не составит труда считать частный случай, когда элементы системы являются вещественные числа. 

 

Второе, в школе Вам это наверняка не понадобится, но вот в институте, особенно институтах связи, при расчетах токов в сложных контурах в электротехнике, наверняка пригодится.

 

Операции с комплексными числами

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел. Например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Комплексные числа могут складываться и вычитаться как обычные.

Рассмотрим точку, обозначающую число 1+2i. Прибавим к нему число 3+1i. Можно сложить столбиком и получить 4+3i. Геометрически это обычное сложение векторов.

Разность комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, представляет собой комплексное число, действительная часть которого и коэффициент при мнимой части равны соответственно разности действительных частей и разности коэффициентов при мнимой части уменьшаемого и вычитаемого.

В общем виде вычитание комплексных чисел z1 = a+bi и z2 = c+di можно записать так: z1-z2 = (a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i.

Несколько примеров вычитания:

• (5+9i)-(3+24i) = (5-3)+(9-24)i = 2-15i.
• (-4+16i)-(11-8i) = (-4-11)+(16+8)i = -15+24i.

Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа перемежаются точно также, как и действительные числа. Рассмотрим несколько примеров.

2×(1+1i) = 2+2i. Геометрически умножение на два выглядит как растягивание прямой с точкой на плоскости в два раза.

Умножать на i также не сложно. Известно, что i отвечает четверти оборота. Например, чтобы умножить 3+1i на i, достаточно повернуть точку на четверть оборота. Получаем -1+3i.

Умножим два комплексных числа 2+1,5i и -1+2,4i:

Сначала нужно умножить (-1+2,4 i) на два, затем на 1,5i. Далее складываются результаты. (2+1,5i)×(-1+2,4i) = 2(-1+2,4i)+1,5i(-1+2,4i) = -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i. i в квадрате равно минус 1. Соответственно -2+4,8i-1,5i+3,6×i×i = -2+4,8i-1,5i-3,6 = -5,6+3,3i.

Частное комплексных чисел z1 = x1+y1i и z2 = x2+y2i в алгебраической форме находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное число к знаменателю:

z1÷z2 = (x1+y1i)÷(x2+y2i) = ((x1+y1i)×(x2-y2i))÷((x2+y2i)×(x2-y2i)) = ((x1×x2+y1×y2)÷(x2²+y2²)) + (i×(x2×y1-x1×y2)÷(x2²+y2²)).

Рассмотрим пример деления -1+3i на 1+2i. Используя формулу для нахождения частного, получаем:

z1÷z2 = (-1+3i)÷(1+2i) = ((-1+3i)×(1-2i))÷((1+2i)×(1-2i)) = ((-1×1+3×2)÷(1²+2²))+(i×(3×1+(-1)×(-2))÷(1²+2²)) = 5÷5+i×5÷5 = 1+i.

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

• выбираете нужное действие;
• после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

• Формат heic, чем открыть, что это такое?
• Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
• Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
• Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
• Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (, , ), десятичные дроби (, , ), а также числа в экспоненциальной форме (, ).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки (, , , ) для перемещения по элементам

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами:

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали —

Единичная матрица E_n×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение:

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: или

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение:

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице:

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица.

Сложение матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Разность матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен:

Умножение матриц A_n×k и B_k×m — матрица C_n×m, у которой элемент (c_ij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

Примеры

linur_i 5:2 3 10 2 -11:3 0:-30

Корни системы линейных уравнений равны следующим значениям.

Переменные считаются слева направо

1.4389598942265:-1.941383869546

-0.3591890700749:2.2763331864257

 то есть x1=1.4389598942265 — 1.941383869546 i 

x2=-0.3591890700749+2.2763331864257 i

Рассчитаем комплексную систему линейных уравнений

такого вида

Записываем все элементы в поле ввода. Как видите, данные могут быть не только числовые но и быть произвольным выражением, включающее в себя комплексные числа.

И получаем следующий результат.

Вы ввели следующую систему уравнений

Решение системы следующее

Успехов в расчетах !

• Скалярное произведение двух матриц >>

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Комплексные числа — тригонометрическая форма

Казалось бы, плоскость двухмерная, так как для описания произвольной точки нужны два числа. На самом же деле можно обойтись одним числом. Для этого используется тригонометрическая форма представления. То есть z = a+bi можно представить как z = ×(cosφ+i×sinφ), где:

• — модуль комплексного числа. Это расстояние от соответствующей точки до начала координат на плоскости. Например, модуль 2 + 1,5i = 2,5.
• φ (argz) — аргумент комплексного числа. Он находится измерением угла между осью абсцисс и прямой, соединяющей начало координат с точкой, отвечающей числу. Аргумент 2 + 1,5i = 36,8°.

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: = √(a²+b²). Данная формула справедлива для любых значений a и b.

Для нахождения аргумента (φ или argz) нужно воспользоваться следующими формулами:

• Если a>0 (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле argz = arctg(b/a).
• Если a<0, b>0 (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = π+arctg(b/a).
• Если a<0, b<0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле argz = -π+arctg(b/a).

Как видно, комплексные числа не так сложны, как могло бы показаться на первый взгляд. Ознакомившись с простым объяснением и методикой работы с ними, вы научитесь складывать, вычитать, умножать и делить комплексные числа. Также вы сможете переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую.

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположениечисла  z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественнаяполуось	x > 0 , y = 0	φ = 2kπ
	x > 0 , y > 0
Положительнаямнимаяполуось	x = 0 , y > 0
	x < 0 , y > 0
Отрицательнаявещественнаяполуось	x < 0 , y = 0	π	φ = π + 2kπ
	x < 0 , y < 0
Отрицательнаямнимаяполуось	x = 0 , y < 0
	x > 0 , y < 0

Расположениечисла  z	Положительнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x > 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x > 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Положительнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y > 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаявещественнаяполуось
Знаки x и y	x < 0 , y = 0
Главноезначениеаргумента	π
Аргумент	φ = π + 2kπ
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z	Отрицательнаямнимаяполуось
Знаки x и y	x = 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположениечисла  z
Знаки x и y	x < 0 , y < 0
Главноезначениеаргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа   z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: Аргумент: φ = 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x > 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 ,   y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Расположение числа   z : Знаки x и y : x < 0 ,   y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры:

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью () комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: 

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой  принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:, , , , , , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось  обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел  является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.